昨日の講座の具体例について、本当に厚肉レンズの表面を削ぎ取って、中の平行ガラスを除去し、さらに間隔を1/N で保持したら完璧に等価な薄レンズ2枚系となるのか？実際に光線追跡してみました。
　上図がその結果です。見事に一致しました。
　上は、実際に1面ごとに近軸追跡した結果です。
（参考までに、実際に光線追跡した結果を黒い線でお示ししました。球面収差がよく分かります。）
　下は、等価なはずの2枚レンズ系の追跡結果です。
　その、等価な薄レンズ２枚系のシステムマトリックスを以下にお示しします。

　システムマトリックスの右上の成分、18 が、2枚レンズ系の合成パワーです。焦点距離＝1/18=0.0555･･ m =55.55･･mmです。
ガラスの屈折率＝1.5で、上の両凸レンズの r =50mm です。
　仮に、上のレンズの厚み30mmの間隔を残したまま中央の平行ガラスだけを除去したらどうなるか？ですが、上のシステムマトリックスの計算例から、中央の移行マトリックスの左下の成分 -0.02を-0.03に変えて、各自で計算してみてください。　合成パワーが 17D になることが分かります。つまり、同じ間隔のまま、中の平行ガラスだけを除去すると、合成パワーが弱くなるのです。
　その他に興味深いこととして、主点位置があります。元の厚肉レンズと、下の等価薄肉レンズ系とで、光学端面からの主点距離が同じになっています。しかし、下の等価肉薄レンズ系の間隔が小さいため、物側主点と像側主点の位置が交差しています。
　システムマトリックスの左上と右下の成分が等しいので、両主点の位置が全系の中心に対して対称になることが分かります。実際に計算してみると、(0.8-1)18 =- 0.01111･･≒ – 11mmになることが分かります。レンズ間隔＝20mmなので、2mmほど交差することが分かります。
　以上、厚肉レンズが、所定の間隔で保持された薄肉レンズ2枚系と等価になることの検証でした。

今までで一番難解かも分かりません。分かる範囲でお読み取りください。
　せめて、実感を持ちながらお読みいただきたいので、具体的な数値を決めてご説明します。
物界は空気中（屈折率1）とします。上の図は、像界が全て屈折率1.5の媒体で満たされているモデルです。界面のr=50mmとすると、近軸の幾何学的焦点距離＝150mmとなります。赤い光線が、近軸（理想）結像の直線です。黒い線は、私が実際にモデル上で光線追跡をした実際の光路で、球面収差の影響が出ていますが、これはオマケでお示ししたもので、今回の説明主旨とは無関係です。
　幾何学的な焦点距離＝150mmと書きましたが、上のように、像界が屈折率N（今回のモデルでは1.5）で満たされている場合、空気中で焦点距離150mmの薄レンズと比べると、像の大きさ＝1/Ｎになります。理由は長くなるので割愛しますが、各自、考えてみてください。
　ということは、本例では、上のモデルの150mmの幾何学的焦点距離は、空気中の薄レンズ換算だと、150/1.5=100mmの光学的焦点距離と等価になるわけです。

　下のモデルは、上のモデルの凸面を厚さ15mmで切り取った状態です。厚み → 0 にすると、両主面が上のモデルに収束して行きます。
　この切り取った平凸レンズの焦点距離＝100ｍｍです。上のモデルの幾何学的焦点距離を屈折率1.5で割った数値になります。
　前回まで、厚み＝0 と見なせる薄レンズの近軸光線追跡についての講座でしたが、実際の厚みのある光学系の追跡をどうするか？という時に、最初に必要になる考察をご紹介しました。
　

　まとめますと；

　空気中に配列された複数の薄レンズで構成された光学系のシステムマトリックスが、構成するレンズのパワーとレンズ間隔を、代表する屈折マトリックスと移行マトリックスを掛け合わせて行くことで求まる、というのが前回までの講座でした。
　それから発展し、屈折境界面を全て等価な薄レンズとみなし、厚みや間隔については、その屈折率で割った換算距離を用いれば、空気中の薄レンズの場合と全く同じ手法が成り立つということです。

一々 sinθ やsinθ‘ を計算しなくても、純粋に幾何学的な方法だけで、かなり正確に屈折光線を作図する方法があります。
　入射光線は最初から長めに描いておきます。—-①
　すると、➁、③ の円弧と➃の補助線の、合計３つの補助線を引くだけで、屈折光線が決定できます。

　①と③ の交点 R から、PCと平行に補助線 ➃ を引きます。
➃ と 弧➁ の交点を Q とすると、PQ ⑤が求める屈折光線になります。

　長文を書いても、ほぼ読んでくださらないことが分かったので、図に可視化してみました。
”射出瞳”を一言で言うと、”接眼レンズが作る入射瞳の実像” ということになります。
言い換えると、「接眼レンズによる対物レンズ自体の実像」です。
　①の光線は実在しませんが、光路図に描いても問題なく、むしろ考察に有効です。
Fは、アイピースの物側焦点であり、かつ対物レンズの像側焦点でもあります。
F’は アイピースの像側焦点。
　対物レンズ枠は、アイピースにとって有限距離にあるので、常にその像側焦点 F よりも外側に結像します。この図でお分かりのように、対物レンズ枠がアイピースに近いほど射出瞳は外側に出るわけで、実は、アイレリーフは固定されたものではなく、対物レンズの焦点距離によって微妙に変化します。（対物の焦点距離が短い方がアイレリーフが長くなる。）
　この図から、望遠鏡の倍率＝入射瞳径/ 射出瞳径 となることにもご納得いただけたと思います。

　もう一度、図の入射瞳(Entrance Pupil)と射出瞳(Exit Pupil)の関係をよくご覧ください。
入射瞳の環の中をくぐる光線は、ことごとく、射出瞳の環の中から出て行く！　ということです。
　　
　ここに観察者の眼の入射瞳を置けば、対物レンズをくぐる光線をことごとく捉えることが出来るわけです。（ 瞳孔径＞射出瞳 が前提ですけどね） 眼の入射瞳は、角膜上ではなく、角膜が作る、解剖学的瞳孔の虚像で、角膜よりも眼の内部にあるため、角膜は射出瞳よりも前に位置しないといけません。一見十分そうなアイレリーフの公称値に反して覗きにくいアイピースが多い所以です。

　いかがでしょうか？　これで射出瞳の本当の意味がご理解いただけたでしょうか？
72年の人生を振り返って、天文に興味を持ち始めてからでも52年、あらゆる方と出会いましたが、射出瞳の意味を明瞭に理解している方と出会ったことがありません。
　それは、教育界から天文マニア、望遠鏡業界を含めて異常なことだと私は思っています。
　これで、「初めて射出瞳の意味が分かった！」という方がおられましたら、ご連絡いただけると励みになります。　また、教育界や望遠鏡業界の方で、”初めて分かった！”という方は、正しい知識の啓蒙に努めていただけますと幸いです。

上の図は、界面カーブも屈折率も、見た通りの実際のシミュレーションです。
代数計算は全くやっておらず、光線追跡ソフトも使っていません。
　若かった頃、実際に紙の上で、コンパスと三角定規を使ってシミュレートしていたのと全く同じ手法で、ただ、作図ソフトを使っただけです。（屈折光線の作図方法のヒントを2/17の記事に投稿しています。）
　図の F が近軸、つまりPnが極限まで光軸に接近した時の焦点の極限値ですね。前回までの近軸追跡は、突き詰めると、このFを求めるのが目的でした。　実際の光学系の設計や性能評価には、高さのある光線の実際の経路を屈折の法則を適用しながら、克明に辿る必要があります。
　今回は、1面のみのシミュレーションですが、単レンズでも2面、2枚玉なら4面あるわけです。
凸球面では、P点が高くなるほど、焦点位置が手前に来るわけです。
　凹球面はそれを打ち消しますが、無作為に組み合わせても、パワーも打ち消してしまいかねません。同じパワーでも、エレメントのレンズの前後面のカーブの選び方(BENDING)でこの球面収差の量が変化することが分かっていて、凸レンズエレメントの球面収差を小さくして、凹レンズエレメントの球面収差を大きくすれば、合算した合成度数に＋凸の要素を残しながら球面収差をキャンセルできるわけです。
　Pnの座標は、二次曲線と直線の交点を求める課題なので、高校生の時に散々経験されているはずですし、また屈折光線のベクトルも、スネルの法則を忠実に適用すれば、高校生程度の数学で算出できます。無料の良いソフトが入手できる昨今ではありますが、近軸と簡単な光路追跡くらいまでは、マニュアルで辿ってみるのも、光学を理解する上で有効だと思うわけです。

オマケで、収差曲線を追加しました。
　図から、収差曲線の意味を直感的にご理解いただけると思います。

　

　今は電卓どころか、良い計算アプリもあり、エクセルを利用するも良し、なんですが、知っておいて損はない計算のコツっていうのもありますね。
501 × 499 = ?　暗算に長けている人、珠算に長けている人は瞬時に解かれると思うけど、一般の人は、瞬時に暗算できる方は少ないと思う。
　でも、昔習ったはずの2項の積の公式を思い出せば、簡単だと分かります。
501 × 499 = (500+1)(500-1) = 500^2 -1 = 249999　　となります。
(a + b)(a – b) = a^2 – b^2、
とか、(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2、とか、
学生時代に散々やられたのではないですか？

　上に、先日の課題のシステムマトリックスを表示していますが、その行列式を計算するに当たって、
まず、0.9899 x 0.9899 がありますね。
　これも、0.9899 = 0.99 – 0.0001　と置くと計算が楽になります。
0.9899^2 = (0.99 – 0.0001)^2
={ (10^-2) (99-0.01) }^2
=(10^-4) (99-0.01)^2
=(10^-4) (99^2 -2×99×0.01 +0.0001)
≒ (10^-4)(9801 – 1.98) （末尾の0.0001は切り捨て）
=(10^-4)(9799.02)
= 0.979902
＊（99^2 = 9801 は、暗記しておきましょう。）

この定理も、幾何光学ではよく利用するので、空気のように身に付いていないと、躓いてしまう。

1.　大きい正方形の面積＝(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
2. 　小さい正方形（黄色）の面積＝　c^2
3. 水色の三角形×４の面積の総和　＝(ab/2 )×4 = 2ab

(1) の面積（大きい正方形）から (3) の面積（水色）を引いたのが、小さい正方形（黄色）の面積だから、
　　(1) – (3) = (2)
つまり、(a^2 + 2ab + b^2) – 2ab = a² + b² = c²

このことから、幾何光学で極めて重要な定理である、
　　　　　　　　　　　　　　　sin² θ + cos² θ = 1　も導かれる。

（ 蛇足ながら、c=1 のとき、a = sin θ , b = cos θ ）