代数的考察には踏み込まない、と一旦申しましたが、シンプルな方法が閃いたので発表させていただきます。
　まずは、反射の法則から・・・。
　通常は、AB = √(x^2+1) , BC = √｛(1-x)^2+1｝から、f(x)=√(x^2+1)+√｛(1-x)^2+1｝を微分して法則を導き出すのですが、証明したい法則は θ = θ‘ なので、最初から三角関数を用いた方がシンプルになります。
AB + BC = 1/cosθ + 1/cosθ‘ —– f(θ)
　　と、総光路長が非常にシンプルに表せられます。

θ で微分すると、上記のようになります。
dθ’/dθ が邪魔物ですね。
そこで、もう一つの関係式、tanθ + tanθ’ = 1　の両辺を微分してみます。

これで、最初の f'(θ) の式から、dθ’/dθ を消去できます。

　厳密には、これをさらに微分するのですが、今回は割愛して、0＜x＜1 の間に解が一つある前提で進めます。
f'(θ) = 0 のときに、f(θ) が最小値になるので、
　　　　　sinθ = sinθ’ 、すなわち、θ = θ’ が導けました。

屈折の法則も、同様の方法で導けます。

　反射の例との違いは、Y 軸の負領域と正領域で屈折率が違うということです。
上図では、Y 軸の正領域は空気中で屈折率1，負領域の屈折率をNとしています。
光の速度は屈折率に反比例するので、同じ距離でも、Y軸の負領域では、時間がN倍かかるわけです。
Y軸の正領域の速度がN倍、と考えても同じことです。
　従って、最小所要時間の経路を求めるには、Y軸の負領域の光線の長さを最初からＮ倍して考察することになります。
AB + BC = 1/cosθ + N/cosθ‘ —– f(θ)

先程と同様に、f'(θ) = 0 のときに、f(θ) が最小値になるので、
sinθ = Nsinθ’　　が導けました。

　いかがでしょう？　反射と屈折で数式がほとんど同じですね。
以上から、反射面は光線の向きが反転することも考慮して、屈折率＝”-1″の特殊な屈折面として、通常のレンズの追跡方法に一般化出来ることが分かりましたね。

　

　光が最小所要時間の経路を通ることから、所要時間の関数を立てて微分することで、純粋に代数的に屈折の法則を導入できますが、数式を敬遠される傾向が分かったので、今回は純粋に幾何学的、視覚的に納得いただけるモデルを作りました。
　光が光学的密度（屈折率）が異なる界面で屈折する事実—-①、また、平面波（無限遠からの平行光線）の波面（光線に垂直な面）は、屈折前後で崩れない—-② ことも前提として受け入れてください。
さらに、光の進行速度が屈折率に反比例する事実。—③ も認めてください。
　つまり、AC間の光の進行速度は、BD間の N 倍になるということです。
　波面ABがCDに至る時、ACを移動する時間とBDを移動する時間が同じでないと、上の前提が崩れます。
　　これより、
　　sinθ = Nsinθ‘ が確定するわけです。(∵ AC = N･BD)
（ x軸より上が空気の例ですが、両サイドともガラス等（/ 液体）であれば、
　　Nsinθ = N’sinθ‘　）
＊BC=1 と置くと分かりやすいです。

　近軸領域では、光線がレンズで屈折するときの屈折角度は、レンズに入射する光線の高さ h とΦに比例します。入射光線の元の傾斜角度を α とすると、屈折後の傾斜角度（←定義された角度）α’ = α+hΦ となります。
　つまり、レンズを通過する都度、傾斜角度が+hΦずつ加算される、ということです。Φ＞0であれば、左から右に進む光線は、下向きの角度 hΦ ずつ曲がる、ということです。
　赤い光線も、青い光線も、同じ角度だけ曲がる、ということになります。
　もともと、近軸という特殊な条件で、” h/距離 ” で定義された傾斜角度 α なので、h/α から距離が逆算できるわけです。
　　入射光線②のような傾き α＜0 とし、①のように光軸に平行な入射光線の傾き α =0 とします。
　また、屈折光線①’や②’のように下向きに傾いた α ＞0 とします。
　距離の正負の定義から、自ずと傾斜角の正負も決まります。

今一度、整理しますと・・、
＊複数のレンズを密着して重ねた場合、合成度数は、単純に各々のレンズのΦ（度数）を合計したものになります。

　レンズに間隔がある場合は、
　平行光線が最初のレンズに到達する高さ＝1として、その光線が各レンズを通過する高さとそのレンズのΦを掛けたものを、繰り返しレンズ枚数だけ加算したものが合成度数になるわけです。
　どちらのケースも、ほぼ単純な足し算に帰結するわけです。2行2列の行列が利用できる所以です。