光が最小所要時間の経路を通ることから、所要時間の関数を立てて微分することで、純粋に代数的に屈折の法則を導入できますが、数式を敬遠される傾向が分かったので、今回は純粋に幾何学的、視覚的に納得いただけるモデルを作りました。
　光が光学的密度（屈折率）が異なる界面で屈折する事実—-①、また、平面波（無限遠からの平行光線）の波面（光線に垂直な面）は、屈折前後で崩れない—-② ことも前提として受け入れてください。
さらに、光の進行速度が屈折率に反比例する事実。—③ も認めてください。
　つまり、AC間の光の進行速度は、BD間の N 倍になるということです。
　波面ABがCDに至る時、ACを移動する時間とBDを移動する時間が同じでないと、上の前提が崩れます。
　　これより、
　　sinθ = Nsinθ‘ が確定するわけです。(∵ AC = N･BD)
（ x軸より上が空気の例ですが、両サイドともガラス等（/ 液体）であれば、
　　Nsinθ = N’sinθ‘　）
＊BC=1 と置くと分かりやすいです。

　近軸領域では、光線がレンズで屈折するときの屈折角度は、レンズに入射する光線の高さ h とΦに比例します。入射光線の元の傾斜角度を α とすると、屈折後の傾斜角度（←定義された角度）α’ = α+hΦ となります。
　つまり、レンズを通過する都度、傾斜角度が+hΦずつ加算される、ということです。Φ＞0であれば、左から右に進む光線は、下向きの角度 hΦ ずつ曲がる、ということです。
　赤い光線も、青い光線も、同じ角度だけ曲がる、ということになります。
　もともと、近軸という特殊な条件で、” h/距離 ” で定義された傾斜角度 α なので、h/α から距離が逆算できるわけです。
　　入射光線②のような傾き α＜0 とし、①のように光軸に平行な入射光線の傾き α =0 とします。
　また、屈折光線①’や②’のように下向きに傾いた α ＞0 とします。
　距離の正負の定義から、自ずと傾斜角の正負も決まります。

今一度、整理しますと・・、
＊複数のレンズを密着して重ねた場合、合成度数は、単純に各々のレンズのΦ（度数）を合計したものになります。

　レンズに間隔がある場合は、
　平行光線が最初のレンズに到達する高さ＝1として、その光線が各レンズを通過する高さとそのレンズのΦを掛けたものを、繰り返しレンズ枚数だけ加算したものが合成度数になるわけです。
　どちらのケースも、ほぼ単純な足し算に帰結するわけです。2行2列の行列が利用できる所以です。

レーザーコリメーターを図のようにセットして、スクリーン治具のセンターをビームが貫いています。
　さて、これから何が言えるか？
まず、逆の場合から考えます。
1．図に反して、ビームがスクリーン治具のセンターから外れていた。
　　　この場合は、「光軸が狂っている。」という判断で正しいです。
2. 図のように、ビームがスクリーン治具の中心を貫いていた。
　　　　　→は、残念ながら、光軸が完璧とは限らないのです。ミラー面の高さと角度が、青い線のように都合よく狂っていれば、やはりスクリーンのセンターをビームが貫くことがあるからです。
　つまり、このテストで合格することは、完璧な光軸への必要条件であって、十分条件ではない、ということです。

次に、スクリーン治具をミラー治具に交換してみます。
ビームが完璧にレーザーコリメーターの射出穴に戻って来た！
　さて、これも、光軸が完璧と断言できるのか？
　　これも、答はノーです。　なぜなら、青い線で示したようなケースが含まれているからです。
　　　これも、完璧な光軸への必要条件であって、十分条件ではない、ということです。　　
　結論を言いますと、上下2種類のテストの両方で合格して、初めて光軸が完璧だと言えるわけです。

　それから、さらに重要なことは、レーザーコリメーターをチェック、管理できる能力をユーザーが持っているか？ということです。これについては、何度も警鐘を鳴らして来ました。

　上の図は、絵本レベルの光学書や 小、中学校で教わる結像公式を図で示したものです。
負数の概念も、数直線も知らない段階の公式で、物点距離 a も像点距離 b も常に＞0として扱います。
　下の図は、虚像の時の光路図ですが、a,b＞0を前提にした、1/a + 1/b = 1/f　が成り立たず、別の公式を立ち上げないといけません。1/a – 1/b = 1/f
　負数や数直線さえ理解できれば、光軸をx軸、レンズ位置を原点として物点、像点の座標を決めると約束すれば、1/b – 1/a =1/f ( 1/s’ – 1/s = 1/f )　という一般式が、全ての結像ケースで成り立つことが分かります。（結像ケースごとに、違う公式を使わなくても良い。）

　それから、一見、a と b という距離同士の関係式に見える結像公式ですが、その裏にある角度関係を見落としてはいけません。
　図の最初に出て来る、α＋α’ = γ が始まりだということです。これは三角形の基本定理なので、中学生でも知っていますね。　これも、先ほどの a, b 同様、正負の概念を加えて、上の方の図の α’＞0 , α＜0 と定義しておけば、一般的に
α’ – α = γ —–① と書けるわけです。
近軸域の極限値では、
γ = h/f となることが分かっていて、1/f = Φ（レンズのパワー）なので、
α’ = α + hΦ　と書けるわけです。また、屈折の前後で h は変化しないので、
h’ = h　となるわけです。　これらの2つの式を行列で表記したのが、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　です！

＊近軸領域では、α = h/a , α’ = h/b
　　これも極めて重要な点ですが、言い換えますと、屈折光線の曲がり角度 γ は、α や α’ とは無関係で、h とレンズのパワーだけで決まる、ということです。現実にはそうならないことが多いですが、それが理想結像であり、それに近付けるために、光学設計者が腐心するわけです。　因みに、近軸追跡で扱う屈折の角度とは、実際の光線の角度のことではなく、tan α として定義された特別な角度です。
　また、α’ = α + hΦ について、h の初期値に何を代入してもかまわない理由は、
α’ = h/a ,　α = h/b を上式に代入していただけばご納得いただけるはずです。
h/a = h/b + hΦ　となり、h が α、α’ の中に隠れているため、h が任意に決められるわけです。（hはもともと両辺に均等に掛けたもの！）

光学講座の当初に提示していました、三角形の角度関係の重要な定理です。
近軸理論では、これが頻出します。

図だけで理解できるように、徹底的に可視化しました。
　システムマトリックスの右上の成分が、このシステムの合成パワーです。
　左上と右下の成分からは、それぞれ、物側主点と像側主点の位置が分かります。
（直接ではなく、計算式がありますが。）