第３問を修正すると、こう ↑ なります。
(-3f) × ( f/3 )= -f^2 で、ニュートンの公式を満たしていますね。

問題：　上の1～5 の光路図で、間違っている物（番号）を全て挙げよ！
＊　セルの横幅＝ f とします。
＊　赤い矢印が物体で、青い矢印が像です。５は、虚像です。
＊　光線はヒントになり過ぎるので、敢えて最小限に省いています。
　　その代わりに、セルの罫線がヒントになります。

Lens shape in the optical diagram of paraxial imaging is not so important. But the lens shape in the diagram will definitely enhance the intuitive understanding of the readers. And the beautiful lens shape will add value to the diagram.
I have been struggling with this issue, drawing a beautiful lens shape, with Excel for a whole day and night, in vain.
The issue made me feel tired and sleepy this morning!
I asked my nurses for the solution of this issue with Excel this morning in vain, but after 15 minutes, my attending physician kindly came to my room, and She was able to show me the perfect solution in Excel almost instantly!!
Above is the best lens shape I could make with the help of my loving Doctor!
　近軸光線追跡は、レンズの厚さを”０”と想定しており、光路図にレンズ形状を挿入することは、さほど重要ではありませんが、読者の直感的な理解のためと、光路図自体の審美性には、欠かせません。
　寝不足で、憂鬱な朝を迎えた今朝でした。
　エクセルに長けた看護師さんが２名ほど来てくれても解決せず、半ば諦めていたところ、15 分後に、何と、主治医の先生が病室に来てくれ、すいすいと、ほぼ一瞬で感激の解決！　上図が、それでゲットした、今までで一番綺麗な ”レンズシェイプ” を挿入した、初めての光路図です。　これで、下がっていた免疫値も回復しそう！LOL

　順番が交叉した両主面について、全くご質問がないので、先回りしてご説明します。
　当初は、物空間にあるのが物側主点で、像空間にあるのが像側主点だと思うのが自然ですからね。初学の段階で、交叉した主点（主面）関係を見せつけられたら、真面目に取り組んでいた方ほど、頭をガーンと殴られたような衝撃があったはずです。（私も当初はそれで悶絶しましたから。）
　初めて交叉した主面の光路図を見せられたら、光線が両主面間で折り返しているのか？と思ってしまう方もいるかも知れません。
　そうした方に安心していただくため、あるいは、勉強の継続を断念してしまった方を呼び戻すために、少々ややこしい作図 ↑ をしてみました。
　分かりやすく可視化したつもりで、図から直感的にご理解いただけると思っています。
　赤と緑の系列だけに、実際の光路 (1→2→3→4) をお示ししました。光線自体は、両主面上の H1 も H2 も通るわけではなく、そこ（H1）に向かって、そこ（H2）から出て行く、というものです。(H1,H2 はそれぞれ、虚物点と虚像点ですから。）

　行列を用いた近軸光線追跡や、主点位置の算出について、不慣れな方が多いと思い、追加説明をさせていただきます。
　まず、レンズ系のモデルは、+1.0D の薄い凸レンズを２枚、0.5mの間隔で保持した、シンプルなものです。　シンメトリックな光学系なので、両主点位置も対称配置になります。
　薄レンズは、シンプルな屈折マトリックスで表現できます。
　レンズ間隔は、これもシンプルな移行マトリックスで表現します。
　まず、単純に、レンズ１の屈折マトリックスにレンズ間隔の移行マトリックスを掛け、それにレンズ２の屈折マトリックスを掛けると、レンズ１～レンズ２の間のシステムマトリックスが得られます。
　そのシステムマトリックスから、主点位置が簡単に求まります。
　さらに、そのシステムマトリックスを挟むように、両主点位置の移行マトリックスを掛けると、両主面間の別のシステムマトリックスが得られます。　何と、それは薄レンズの屈折マトリックスそのものになります。
　システムマトリックスは、計算途中を含め、右上の要素が常に合成パワーになり、行列式の値は常に１です。
　今回は、ご参考のために、主点基準のシステムマトリックスの導出をお示ししましたが、実は、この計算は全く不要で、合成パワーが最初のシステムマトリックスで分かれば、それを単レンズのパワーとして、屈折マトリックスを組めば良いのです。

　一般的な結像公式（1/s’ – 1/s = 1/f ) は、３つの向きを持った距離同士の関係式ですが、
行列の方法は、距離を問題にせず、指定した２面間を通る光線の通過点に於ける光線のｘ軸方向に対する傾き（α）と、その点の高さ（h）を求めます。　当初は、何でわざわざ？と思うでしょうが、一般的な結像式は、単レンズの光線追跡には有効ですが、レンズ枚数が多くなるほど、計算が複雑になるのです。行列の方式だと、何個でもその構成行列を掛け合わせることが出来るのです。
　システムマトリックスは、指定した第１の面上の P から、もう１つの面の P’ を得るための行列です。
　興味を持たれた方は、今までの屈折マトリックス等の関連記事を今一度ご参照いただけると、よりご理解が深まるかと存じます。

　計算は難しくないのですが、単に、エクセルの使い方で悪戦苦闘しました。H1系列（入射光線）とH2系列（屈折光線）で、座標軸を主点間隔分だけずらさないといけないのですが、どうしても正規のやり方が分からず、補助線を入れてごまかしました。　今の私のエクセルの技量では、製図ソフトの方が楽でしたが、今後のためにも、このくらいはすいすい描けるほどエクセルに習熟しておきたいものです。LOL
　本例は、H1 と H2 の順が交叉していますが、珍しくはありません。

1/16　ご注文分です。遅くなって申し訳ございません。