Coo became a Cinderella Boy!! (玉の輿に乗ったクー)

Coo is enjoying blissful days with his new keeper. He won the freedom of playing out at his leisure through his personal entrance door that was made by his kind keeper, and the warm room of the perfect shelter at a time.

クーが玉の輿に乗りました。新しい飼い主は私の友人で、とても信頼の置ける方。車で数時間かけて、今月の 初旬に婿入りしました。無理解なご近所のために家の中に幽閉されたクーでしたが、一度ノラの生活を 経験したクーには耐え難いことでした。 決して元の飼い主の母が薄情だったのではなく、私たちとクーが 今後の人生を幸せに過ごせるかどうかの、ぎりぎりの判断をした結果なのです。

クーは、星が見える広々とした里の個人天文台の主猫になり、晴耕雨読ではなく、晴遊雨寝の極楽を 味わっています。^^ それにしても、運の強い猫です。 人間でも、路頭に迷う運命の人もいるのに、 クーは自らの強運で、いつでも外で自由に遊べる環境と、暖かい自分の個室と、新しい飼い主の深い 愛情の全てを手中にしたのです。

クーの近況(2008,12/13)
クー帰る(2008,2/4) (Coo camehome!)
クーが家出(2008,2/3) (Coo ran away!)
クーちゃん、ごめんよ。(2008,1/10)(Forgive me, “Coo”.)

Decisive Parting / 別れの決断

My parents and my family ate out tonight. The occasion was a farewell dinner for my daughter who will join the medical faculty at the University tomorrow.

It also means I will not have my daughter around to succeed me since she will probably become a Medical Doctor.

“Parting with good grace even in sorrow” has been my policy. Although I have made another decision to part with my Double Barrel Binoscope in my observatory dome on top of my shop, parting with my pride and joy instrument is sorrowful.

The home made dome was constructed 24 years ago and is in need of repairs of which I have no extra time to pursue. Moreover, I have no time to even open the dome because I have numerous back orders to fill for my amateur astronomer customers. So I have made a decision to hand it over to an amateur who I believe will take good care of it and will also appreciate it.

We are never free form parting. So, l will part with my beloved partner with good grace while she is still attractive.

今晩は医学科に進学して行く娘の家庭内送別会のため、 爺さん、婆さんを交えて一家5人で外食をした。 娘が幼時より決めていたコースであったが、これで自分の仕事が子供によって後継されないことが明確となった。

”別れは潔く”がモットーなのだが、もう一つの別れも近付いた。EMSやBINOの製作が本格化してから、屋上のドームが 『開かずの間』になって久しいが、築24年のドームは、さすがにスリット開閉部の老朽化が著しく、主砲のシェルターの役目を全うできない ことが明白になった。中のBINOシステムは全く問題ないのに、ドームがダメになったら、ほぼ一瞬でBINOシステムもダメになる。 それより怖いのは、強風で飛散したドームが通行人に被害を与えること。 かと言って本格的なドーム補修にかける時間も集中力も残っていない。
ということで、この際、中のBINOシステムを希望者に譲り、スリット部は 建築業者に依頼して新たな板金加工で密封し、ドームは物置にすることにした。

別れはいつかは来るのだから、まだBINOの新鮮さが完全に失われない内に、潔く別れよう。

(行き先は決まっています。)

「このメガネ、皺(しわ)が見えます!」

中年期を過ぎて、それまで潜伏していた遠視が顕在化し始めた方は本当に扱いにくい。もともと視力には人一倍自信を持って 来た方ばかりなので、こちらに来店されるまでに相当痩せ我慢を続けられ、耐え切れなくなって、大嫌いなメガネ屋に来られたは ずなのに、皆さん、極めて往生際が悪い^^;。

正視の人が老眼になったのであれば、「近業時のみ、仕方なく嫌いなメガネを掛ける。」という選択も アリなのだが、遠視は残念ながら、そうは行かない。遠方視の際にも、近業用メガネ(老眼鏡)よりも少しプラス度数の弱いメガネ を装用しないといけない。 もちろん、それを装用しないと警察に捕まるわけでもなく、当人が納得しないなら放っておくしかない。
ただ、はっきりと言えるのは、掛けないとたちまち世界がボケて見えてしまう近視は、メガネを掛けなくても眼の調節機能には 全く負担をかけないが、掛けなくても遠方は結構見えてしまう遠視は、放置しておくと、生理的な負担が大きく、眼や体を蝕むと いうことだ。このパラドックスがなかなか理解してもらえない。

第一、主婦であれば、ある程度の遠視を放置したまま台所に立つことは、家族にとって不衛生極まりないということを自覚すべきなのだ。 また、いつまでも美しくありたいと思うのなら、まずは自らをはっきりと見つめないといけない。

頑固な遠視の初老のご婦人をやっとの思いで説得して、メガネを仕上げても、まだ全てのハードルを越えたわけではない。
仕上がった遠視のメガネを受け取りに見えた時がまた問題なのだ。メガネを掛けて店内の鏡を見たご婦人が悲鳴と共に、こう叫ばれる ことがあるからだ。

「キャーッ!! このメガネだめです。シワが見えます~!!!」

私はそれに対していつも手厳しく答える。

「気にしないでください。人には始めから見えています。ご自分が見えるだけです。」

だから、当店の本業はいつまでも発展しないのか??
(でも後でフォローもしますよ。「お友達のシワも見えるから、自信を持てますよ。」)

60度を折る ”サバイバル数学”

数学嫌いだった私が数学好きになって行ったのは、それが物を作ることや、物を理解する上で必要だったからです。  未だに、数学が得意だとは言える段階ではないのですが、自分に必要な数学は自然に身に付いて来たと思うし、 実用との接点を体感する醍醐味を知れたことを幸せに思っています。“survival mathematics”というのは私の造語か、 すでにどなたかが使っておられるのか知りませんが、私にとっての数学は、まさしくサバイバル数学なのです。

ですから、数学を勉強することに苦痛を感じている中高生を見ると、大変歯痒く、ついおせっかいをしてしまいた くなるのです。

古い話になりますが、20年以上前に自宅屋上にドームを製作した時には、幾何学的な基礎知識が大いに役立 ちました。正方形の観測室の土台の直角出しには(3:4:5)を利用しましたし、観測室の火打梁の設置には正方形から正八 角形を作図する方法が功を奏しました。

今日は、極めてシンプルで役に立つ”技”をお伝えしたいと思います。この手の分野に詳しい方は、すでにご存知かも分か りませんが、唸ってくださる方もおられるかと思います。便利だと思われたら、覚えておいて活用してください。  ただ、いきなり答えを言ってしまってはつまらないので、一応、各自でトライしていただきたいと思います。
分からなくても、24時間くらいは、我慢して解答をクリックしないでください。

問題: 長方形の紙を2回だけ折って60度を作ってください。 ただし、布団たたみのような3つ折りは禁止です。(3つ折りでは正確に折れません。)  また、折ってから開いても結構です。折れ線が2本までOKということです。

解答

解答では証明を省いています。証明は簡単ですので、各自でやってみてください。

数学関連日記
EMSの種明かし
懸賞ゲット
懸賞ゲット2
1立方センチの立方体
人類の至宝1
人類の至宝2
人類の至宝3

遷喬小学校創立134周年

一ヶ月ほど前に母校の遷喬小学校 の校長先生より電話があり、創立134周年記念式典での 講話を依頼されました。 こういう式典で話をするのは、少なくとも世間的に成功者と言える方の役目で、自分には無縁のことと思って いたので、当惑しましたが、校長先生の熱心な依頼に、思わず承諾してしまいました。

現校長先生は、私の死んだ姉と同じくらいの年齢の、とてもチャーミングな女性です。以前に一献交わす機会があり、 学童期に、お名前の”和江(むつえ)”を(当時の)先生に正しく呼ばれたことがなく、いつも”かずえ”と呼ばれて悲しかった こと等をお聞きしていたので、あのお優しいオーラは、挫折を知る者だけが持つ独特のものだと理解していました。
ということで、いくらでも適役がおられるとは思ったものの、意図あって挫折だらけの人生を歩んで来た私を選んでくださった のだと勝手に解釈して、講話をお引き受けすることにしたのです。

それでは、恥をしのんで、今朝発表させていただいた講話をご紹介します。

”あなたたちの未来は明るい”

おはようございます。遷喬小学校創立134周年、おめでとうございます。

私の名前は、『まつもと たつろう』と言います。 「たつ」は、お正月に揚(あ)げる凧によく書かれている、りゅう(龍)という漢字です。「ろう」は、たろう(太郎)、じろう(次郎)の郎です。 私は、遷喬小学校を昭和39年、1964年、今から42年前に卒業した、あなたたちの先輩です。多分、あなたたちのお父さんより 年上で、おじいちゃんより年下の、ちょうどその中間あたりの年齢だと思います。

今日はみなさんの前でお話をさせていただくことを、大変誇りに思い、感謝しています。

さて、みなさんは、多分、これから言う3つのグループのどれかに入ると思います。 Aのグループは、今最高に幸せで仕方がない人です。 そしてBのグループは、どちらとも言えない人、そしてCのグループは 不幸せな人です。実は、私は少年時代はBか、ともすればCのグループでしたが、今はとても幸せです。
今日は、Cのグループにいた私がどうやって今幸せになったかをお話したいと思います。

なぜ私が今幸せなのかと言うと、今から12年前に私は望遠鏡に関する発明をして特許を取り、その発明を利用した、 両眼で覗ける望遠鏡を作り始めたのですが、十年ほど前から広まったインターネットによって、お客さんが増え、日本や世界の 天文マニアの人が私の望遠鏡を注文してくれるようになったからです。

私が作っている天体望遠鏡は、上下左右がさかさまにならないで、とてもはっきり見えるもので、同じ様な望遠鏡やカメラ を作っている、ニコンやミノルタの社員の人でも、私に注文をして来ます。

望遠鏡の工作は、金属を切ったり削ったりするので、紙や木を切るように簡単ではありません。 私はそういう専門の大学を出たわ けではないのですが、全て大人になって社会に出てから自分で勉強して技術を身に付けました。また、海外からの問い合わせは 英語のメールを扱いますが、英語も自分で勉強し、今では辞書に全く頼らずに海外のマニアとメールを交換しています。

私の本業はメガネ屋ですが、星を見るという自分の趣味から始まった望遠鏡作りで、世界で自分しか作れない物を持った ことと、世界中の天文マニアの人たちから頼られることで、物作りの喜びを知り、今が一番幸せだと思っています。

あなたたちも、将来、物を作る仕事か、物を育てる仕事か、それらの人たちが作った物を売る仕事か、それらの人の手助けをする 仕事か、人に何かを教える仕事かのどれかの仕事に就くはずです。 どんな仕事に就いても、自分の働きが人の役に立っている、 という実感が持てたら、私たちはとても幸せになります。

私は姉二人を持つ末っ子として育ちました。小学校の頃から、二人の姉は勉強が良く出来ましたが、私は出来ませんでした。 成績はいつも中間辺りをうろうろしていたように記憶します。かと言って、スポーツでも、少し鉄棒が得意だったり、 短距離走が速かった程度で、それも一番だったことはありませんでした。 小学?年の時、リズム感が悪かった私は、 足踏みのリズムがおかしいと、担任の先生に皆の前で悪い見本でやらされ、先生に、「まるで芝居の“馬の足”だ」 と言われました。

私はそんな自分が嫌いでした。
小学校時代のそんな自分を作り変えようという強い決意で入った中学でしたが、陸上部に入部早々、苦手の長距離走でしごかれ、 1週間でケツを割ってしまいました。その後に入ったバスケットボール部でも長続きせず、勉強でも目立つことが出来ず、 二人の姉は鳥取西高に行ったのですが、姉弟で私一人が鳥取商業高校に進みました。

鳥商では、バック転も鉄棒の車輪も出来ない状態から器械体操を始めました。過酷な練習で、手の皮むけや筋肉痛が治る間はなく、 最初の1年は下痢が続き、3年間で3度も骨折し、体はボロボロになりましたが、今度はがんばり抜き、高校3年の時に、第24回 長崎国体に出場しました。挫折(ざせつ)と絶望(ぜつぼう)の少年時代でしたが、これがささやかで初めて見た一筋(ひとすじ) の光でした。

しかし、私の親は、私が家業の眼鏡屋を継ぐのが当然だと考えていましたので、ただ国体に出場したくらいでは、私を別の道に進ませる気はありませんでした。 当時の自分としても、いくら体操が好きだと言っても、体操で自分が理想とするところまで到達する自信はなかったので、 確実なレールが敷かれた家業を継ぐしかありませんでした。

こうして、また新たな挫折(ざせつ)を経て、家業に従事しながら始めた趣味が星を見ることであり、それがそれまでの天 体望遠鏡の使い勝手に疑問を持つきっかけとなり、さきほど紹介した天体望遠鏡関係の発明につながったわけです。

人生は、あなたたちが考えるよりずっと長いものです。今勝っている人がずっと勝っているとは限らないし、今負けている人がず っと負けているとは限りません。今勝っている人は、負けている人を思いやり、また、将来負けないようにがんばり、今負けてい る人は、将来必ず勝つチャンスがやって来ることを信じてがんばれば良いのです。

最近、小学生の自殺をよく耳にして、胸が痛みます。挫折(ざせつ)の連続の少年時代を過ごした私には、 彼らの気持ちが痛いほど良く分かります。さきほど説明したCのグループにいる人たちにとっては、少年時代ほどつらい 時期はないのかも分かりません。先が見えない将来は、ちょうど出口の見えないトンネルのように不安に感じるものです。
しかし、Cのグループの人たちには、今が一番つらいけど、それはずっと続くものではないこと、また、喉がからからに乾いた後 の水が美味しいように、その後に来る幸せは、Aのグループの人たちが味わえないほど素晴らしいものがあるということ を知って欲しいと、強く思います。

Aのグループの人たち、今最高に幸せな人は、家に帰ってから、どうして幸せなのかをよく考えてみてください。 今すぐ分かるか、何十年後に分かるか、わかりませんが、もし誰かのお陰であると分かったら、その人たちにお礼を言ってください。そして、幸せでないと思っている人たちを思いやってください。

そして、もし、あなたたちの中で、明日を見たくないほどつらい方がいたら、担任の先生か、あなたが一番話しやすい 先生と、自分の親につらい理由を話してください。
もし、どうしても回りに話せる人がいなかったら、いつでも私の所に来て、そのわけを話してください。私の家は、 市役所の前、岡本PTA会長の岡本自転車店の1軒置いた隣のメガネ屋です。

とても10分間では、お伝えたいことのほんの少ししかお話できませんでしたが、最後に、一番お伝えしたいことを繰り返して おきます。

子供時代はつらいものです。でも、永久に苦しいということは絶対にありません。また、あなたの親や先生はいつもあな たのことを想っているということです。それはたいてい、ずっと後になってから分かるものです。

私の研究が4年前に、スカイパーフェクTVの科学番組になって全国放送された時(ネットでは現在でも常時視聴可)に、 46年前に遷喬小学校で私のことを「まるで芝居の“馬の足”だ。」と言った先生がものすご く喜んで、祝ってくださいました。

大人になることは決して怖いことではありません。子供時代には体験できない、楽しいことがたくさんあります。ですから、 あなたたちの未来はとっても明るいということを知っておいてください。

今日は、私の下手な話を最後まで聞いてくれて、ありがとう。
さようなら。

人類の至宝(補足2)

もう少し、逃げないでお付き合いください。 私は数学が理解できなくて悶絶し、一時は絶望した経験の持ち主です。 ただ、 それは自分に数学の適性が無かったからでも、馬鹿だったからでもないことに、ずっと後になって気付きました。  早い段階で気付いていれば、自分の人生はまた変わったものになっただろうと思っています。  私は、理解できない感覚を肌で知っているので、分からない方に理解させることへの確信を持っているのです。

過去2回のご説明は、やや性急で、準備運動が足りずに、筋を痛めてしまった方もあるやも知れません。 今日は、より基礎的な部分のおさらいをさせていただこうと思います。

2の2乗は4ですね。 指数を覚え始めの中学生に、「それでは3の2乗は何?」と尋ねると、大抵、 「3の2乗=6です。」と答えますが、3の2乗=3×3=9 が正解です。  初めての人にとっては、このように、累乗の意味を理解するだけでも、ちょっとしたハードルがあるのです。

それでは、(2の2乗)と(2の3乗)を掛け合わせたらどうなるでしょう?  (2×2)×(2×2×2)=2×2×2×2×2=2の5乗(32)になるのです。
これより、2^2 * 2^3=2^(2+3)=2^5 ( ^ は乗、* は× のこと)のように計算方法を定義することが出来るのです。

同様に、(2の5乗)÷(2の2乗)を考えてみましょう。
(2×2×2×2×2)÷(2×2)=(2×2×2×2×2)/(2×2)=2×2×2 より、
今度は 2^5 ÷ 2^2 = 2^(5-2)=2^3 ということで、 指数の計算の約束がどう決められるかが分かると思います。

この約束に従って、(2の2乗)÷(2の2乗)を計算してみましょう。 同じ数を同じ数で割るのですから、当然答えは1ですが、 ここでは、忠実にさきほどの指数計算の手順を踏んでみましょう。
2^2÷2^2=2^(2-2)=2^0=1 となるわけです。 これより、任意の実数 a の0乗が常に1になることが納得いただけた と思います。
これでも納得しない方があるかも知れないので、ダメ押しにもう一つ例を挙げます。
(2の3乗)に(2の0乗)を掛けると、2の(3+0)乗=(2の3乗)になります。(2の0乗)が1以外では、この計算方法の 約束が成り立ちませんね。

前置きが随分長くなりましたが、以上が e^iθに、θ=0を代入すると、e^iθ=e^0=1となる理由です。(i×0=0)

また、任意の複素数が、2つの実数、a,b と虚数 i を用いて、x軸を実軸、y軸を虚数軸として、ベクトル同様に、 a + bi と複素平面上に表すことができることは、各自でおさらいしていただく必要があります。(昔の教科書や、関連Webサイトを ご参照ください。)

メガネの度数(2)

快適なメガネの度数の決定に腐心する理由の主なものは、私たちの眼が二つあることです。  このことを説明するのに格好のお客さん(Aさん:20歳代)が今日見えたので、実例に即してお話してみます。

Aさんの裸眼視力は、右が0.15で、左が0.05、一般の方が見ると、かなり眼が悪い方だと思われるでしょう。  しかし、中等度以上の近視(普通の近視)であれば、裸眼視力は0.1以下が普通であり、特に珍しい眼ではなく、 また近視自体は病気ではなく、ある意味、身長のばらつきのように、標準の屈折状態から少し外れた眼だと理解しても 良いと思います。

問題は、この方の左右の矯正度数がどうなるかです。裸眼視力に左右差があっても、実際の眼の度数(屈折異常度) は大差がない場合もあります。

検査結果は、右=-2.00Dで、左=-4.25D (これに加えて少量の乱視もあった。)で、矯正視力は、左右共1.0くらい出ていました。(矯正視力 は個人差がある。)

このままの度数でメガネを作るとどうなるか。5分も掛ければ頭が痛くなり、眼も開けていられなくなるのが普通です。  レンズの歓迎されない副作用として、像の大きさが変わってしまうのです。近視用の凹レンズの場合は、度が強いほど 物が小さく見えるという副作用があるので、左眼の方が相対的に小さい像を見ていることになるのです。 脳は大きさの違 う左右の像をコンポジットして一つの画像として処理しないといけないのですが、重ねる像の大きさが違うと、脳は非常 なストレスを感じることになるわけです。

乱視の場合は、度数に方向性がありますので、向きによって倍率が異なるわけですが、左右で乱視の軸方向が異なる 場合、たとえば、正方形を見たとき、微妙に菱形に見え、その変形方向が左右で異なるわけですから、これを重ねて コンポジットするために、脳はかなりのストレスを強いられるわけです。

さて、結論として、どうするかですが、違和感がほぼ無くなるまで、左右の度を歩み寄らせるのです。通常は弱い 方の度を強めるわけにはいかないので、大抵は、強い方の度を弱めることになります。

因みに、初めてメガネを掛けるAさんには、右=-2.00D、左=-2.50Dを掛けていただくことにしました。  一般的には、頑張れば左右の差が2.0Dくらいまでは慣れると言われていますが、成人した方が初めて掛けるメガ ネとしては、左右差1.50Dでも十分辛いもので、敏感な方の場合は、上記のレベルまで慎重にしないといけないこともあるの です。こういうケースでは、数年をかけて段階的に矯正して行くことになります。
この処置によって、度の強い方の眼はぼけて見えているはずですが、両眼開放した状態では、全く問題がない( 快適)のが普通です。(右=-2.00、左=-3.00くらいにしたい ところですが、欲張ると大抵失敗するものです。^^; )
It’s the last straw that breakes the camel’s back.

蛇足: 幼児(小児)の場合はこの例にあらず。 先日、某病院眼科の処方で、右=+1.0D 左=+6.0D (6歳)というのがありましたが、 この子はメガネを掛けた瞬間から、ニコニコして快適そのもの。 子供の順応性、恐るべし。

人類の至宝(補足)

「人類の至宝」の反響がなくて、ちょっとがっかりしていたところで、少なくとも2名の方から明確な 反応があった。

最初の方は、60歳代後半の、地元で会社を経営している方で、何と、該当文をプリントアウトして、「教えてくれ・・。」と訪ねて 来られた。この方は、体系的に数学を学習されてはいないが、好奇心と研究心の旺盛さにはいつも脱帽し、見習わせていただいている。 さすがに息子さんを東大に入れた(すでに卒業された)だけのことはあると、いつも納得。

ただ、複素数も三角関数も未経験の段階では、オイラーの公式を理解するのは無理なので、定性的な話をさせていただいた。

最初の方への回答の要約:

「 私たちが日常生活で直接接している数は、実数といって、直線上の1点に対応させることが出来ます。ゼロを中心にして、左側がマイナス、 右側がプラスです。実数だけを扱っても、いろんな仕事は出来ますが、上の数直線とゼロ点で直交するもう一つの軸(虚軸) を加えて、二次元平面上の1点で表すように定義した数を導入すると、一挙に世界が広がるのですが、この数のことを”複素数”というのです。
直線をよく理解するためには、自分が直線の世界に閉じこめられていたのではダメで、平面の世界に視点を置く必要があるのです。
また、平面の世界を理解するためには、自分の視点を3次元の世界に置く必要があります。 ですから、あり得ない虚の数をもて 遊ぶのではなく、実の世界をより良く理解するために、視点をより高い次元に置いて眺めることが極めて有効なのです。
オイラーの等式の凄いところは、e やπ や i が不可思議なのではなく、それらが1体となって、マイナス1という単純な数になる ところが驚異であり、美しいと言われる理由なのです。」・・・ますます混乱しました??^^;

2人目の方は、私の友人(東大卒^^;)でした。自分のブログに私のHPの「人類の至宝」のことを書いてくれ、「やはり理解できない、今度 鳥取に帰った時に教えてくれ・・」と 言うので、以下のように返信を入れておいた。(その返事はまだ来ていない。)

「 ***さんに小生が教えるなんて? おこがましくて・・・、 でもおだてに乗りやすい小生。・・・・・
e^iθ は直接手で触れて見ることが出来ません。透明人間が泳いでいるようなもの。 だから水しぶきを見るのです。
まず、θ=0のとき、e^0 = 1、これは良いですよね。
厳密なことは置いておいて、θにゼロ以外の数値を代入すると、e^iθ は複素平面上の1点を占めると予想できますよね。  残念ながら、e^iθ の値は直接求められないので、その点がθの変化につれてどう動くかを考えるわけです。
そこで、その点の速度を求めるために、e^iθ をθで微分すると、ie^iθ となり、これはe^iθに直角ですよね。 つまり、位置ベクトルに対して常に直角方向に動くわけです。
さらにθで微分すると加速度が求まるわけですが、これが何と、-e^iθ で、原点に向かっているではないですか。  これはまさしく円運動です。
それで、e^iθ =cosθ+ isinθ となるのです。θ=π を右辺に代入すると、マイナス1になりますね。  また、試しに右辺を微分すると、
-sinθ+icosθ = i(cosθ+ isinθ )で、元の式と直交していますよね。
さらに微分すると、-cosθ-isinθ=-(cosθ+ isinθ )ですから、元の式と逆向き(原点向き)ですよね。
・・・・くどい説明で失礼いたしました。」

実業高校しか出ていない私が東大出の友人に講義するとは、何ともおこがましい。 それにしても***君は謙虚な人だ。 夏にはまた 一献交わす魚が出来た。^^;

我ながら、私は本当にしつこい人間のようだ。 だから最近は娘にも敬遠されて、よっぽど困った時以外は私に質問しなくなった。^^; ;;
でも、感動したことについては、一人でも多くの人とその喜びを共有したいと思うのだ。^^;  分からない時も孤独、分かってしまっても孤独、 人間の宿命か。
Der Mensch ist ewig einsam. (←30年前、ドイツ語にかぶれていた頃のお気に入りの言葉。 間違っていたらご指摘ください。^^;)

人類の至宝

少し前に、高2の娘が学校の数学で”虚数”の単元に入ったと言ったので、教科書を見てみた。 ところが、複素数平面や極形式、ド・モアブル の定理等の記載が全くないので、Webで調べてみたら、何と、2003年からの新課程で高校数学から消えていたことを知り、
愕然とした。

ベクトルでも、内積を教えるのに外積を教えない。ベクトル、複素数、三角関数、指数関数等は密接にからみ合い、それらをセットで 学習してこそ、その醍醐味が味わえるのに、誠に残念なことである。

e^iπ = -1 は、人類の至宝と言われる、オイラーの等式だ。

これは、e(自然対数の底;2.71828・・・)の iπ乗( i は i^2=-1で定義される虚数、πは円周率)=-1ということだ。

つまり、(2.71828・・・)の(i x 3.141592・・・)乗がマイナス1になるということ。
何で??
e^iθ をマクローリン展開すれば簡単に導くことが出来るのだが、f(θ)=e^iθ のグラフを描いてみれば、視覚的に 一目瞭然となる。

まず、e^iθ には i が含まれているので、複素平面上の1点に対応するはず。そしてf(0)=1 である。 θで微分してみると、f'(θ)=ie^iθ となり、絶対値は元のままで方向が位置ベクトルと直交していることが分かる。つまり、速度は大きさが 一定で位置ベクトルに常に直交しているということだ。

さらにその速度f'(θ)=ie^iθをθで微分してみると、加速度f”(θ)=-e^iθ となり、大きさは元のままで、向きが原点に 向かっている。 すなわち、これは半径1の円を描くことになるのだ。

つまり、e^iθ = cosθ + i sinθ (オイラーの公式)となり、θ に π を代入すれば、マイナス1になるのだ。  このオイラーの公式から、ド・モアブルは元より、三角関数のあらゆる公式も簡単に導出することが出来る。

一例を示そう。
e^i(α+β)=e^iα * e^iβ を オイラーの公式によって計算してみてください。
sin cos の加法定理が一挙に導けて、笑いが止まらないはずです。

EMSは60度の偏角のミラー2個を適当なねじれ角で組み合わせたものですが、そのねじれ角θを解析してみたら、 何と、cosθ=1/3 という単純な数字で表されることが分かった。当人は仰天、感動したのであるが、今日までそれに関する コメントを誰からもいただけないのは、非常に残念なことだ。

1立方センチの立方体

仕事台(今は小型旋盤の台)の下の本棚を整理していたら、小さい段ポールの箱に入った、 多数の木製の立方体が出て来た。 これは、8年ほど前に2年間ほど夜間だけ、某学習塾の非常勤講師をしていた 頃に使用したものだ。用事がなくなってからも、どうしても捨てることが出来ずに残していた物だった。

体積の概念が曖昧だった中学2年生の男の子のために、私は1cm角の木の棒をホームショップで探し、卓上の丸 鋸で、結構危険な思いをしながら1個ずつ切断して仕上げた。

これを1辺が2倍になるように、4個合わせて上から見ると、合体で出来た大きな正方形の面積が元の4倍になる ことが分かる。また、1辺に3個並ぶようにすると、9個で大きな正方形を形成することが分かる。これで、 面積比は相似比の2乗倍になることを男の子に納得させることが出来た。 私はさらにこれを立方体に発展させ、 体積比が相似比の3乗倍になることも教えた。

立方体でなくても、たとえば人間のような形でも、小さな立方体の集まりと考えることが出来る。 体重60kgの人 がたとえば6万個の1立方センチの立方体で近似させることが出来るとすると、同じ個数の1辺2cm(8cm3 )の立 方体で、2倍の相似比の人間を形成することが出来る。だから、完璧に相似のまま身長が2倍になると、体重は8倍に なるのだ。(この仮想の立方体の1辺は限りなく小さく想定できる。)

この男の子のお母さんが塾に月謝を払いに見えた時、お母さんの生活臭が痛々しく伝わり、私は何としてもこの子 の学力を上げてやろうと決意した。しかし、その思いがつのるばかりに、宿題をして来ない子にいつも笑顔で接する ことが出来なかったことから、次第に敬遠されてしまい、この子は結局塾をやめてしまった。今はすでに成人して いる勘定だが、あの頃の事をこの子はどう思っているのだろう。「妙に口うるさいオジサンだったなあ。」 と思っているのかな。